Родился 9 февраля 1939 года в деревне Драчево, Приволжского района Ивановской области. В 1956 году окончил среднюю школу. В 1963 году окончил Ивановский сельскохозяйственный институт, в 1972-м - заочную высшую партийную школу при ЦК КПСС.
В Калининградскую область прибыл в 1963 году по направлению после окончания Ивановского сельскохозяйственного института на должность главного зоотехника совхоза «Маломожайский». В октябре 1964 года избран первым секретарем Краснознаменского райкома комсомола. В 1967 году утвержден вторым секретарем Калининградского обкома ВЛКСМ. Шесть лет был заместителем заведующего сельскохозяйственного отдела обкома КПСС. В августе 1975 года избран первым секретарем Неманского горкома КПСС. В 1977 году утвержден заведующим сельскохозяйственного отдела обкома партии. В 1983 году избран секретарем, а в январе 1984 года - вторым секретарем Калининградского обкома партии. В мае 1986 года зачислен инспектором ЦК КПСС в отдел организационно-партийной работы.
В апреле 1987 года избран председателем Калининградского облисполкома. Юрий Александрович много сил вкладывал в развитие промышленного и сельскохозяйственного производства, строительного комплекса, транспорта, социальной сферы области и города.
С декабря 1991 года в течение пяти лет работал советником посольства России в Варшаве. Занимался вопросами сотрудничества регионов России с польскими воеводствами: прежде всего, проблемами, связанными с транспортом, рыбным, сельским хозяйством, культурой и туризмом. При этом первостепенное внимание уделялось сотрудничеству воеводств Польши с городом Калининградом и областью.
Малинкин Ю.А. принимал активное участие в общественной жизни страны и города. В 1985 году избрался депутатом Верховного Совета РСФСР 11 созыва, а в 1990 году – народным депутатом РСФСР. С 1980 года по 1993 год являлся депутатом областного Совета народных депутатов.
Юрий Александрович принимает активное участие в работе ветеранских организаций и по-прежнему отдает свои силы и знания на решение проблем города Калининграда.
Деятельность Малинкина Ю.А. по достоинству отмечалась государством. Он награжден орденом «Знак Почета», медалью «За доблестный труд», орденом «За заслуги перед Калининградской областью», Почётной грамотой Правительства Калининградской области, Почётной грамотой Калининградской областной Думы.
Звание «Почетный гражданин города Калининграда» присвоено решением городского Совета депутатов Калининграда № 159 от 04.07.2018 года.